Edison.X. Blog

筆者大多情況用 C 語言，較少碰 C++，所以從頭自己寫 class 之經驗也不多，

這算是筆者第一份較完整的 class  ，對於 C++ 裡之 complex 可能有所差異，

一份初版之 code 連結於此，ComplexConsole 、ComplexDialog 分別為於

Console 及 Win32 Dialog 下之測試 (使用之 Complex 為同一份)，

裡面有幾份狀況沒再做處理，光是在 declare 貼上來就不短。

由於是第一份 class，在開發過程中有許多想法，於此筆記紀錄。

1. 基本運算

overload operator + - * /   :  複數 op 複數 與 複數 op 實數

overload operator +=  -=  */   /=  :  複數 op= 複數 與 複數 op= 實數

overload operator + - : 正負號運算子，非加減法運算子。

值得一提的是，乘法和減法是可以減少使用之實數乘法計算量的。

除此之外，還有全域做 

Complex<T> operator + - * / (const T & , const Complex<T> & > 

2. 比較運算

operator== 比較運算和 c++ 內附的 complex 有所不同，

大多之作法是 return m_imag==imag && m_real==real ;

但筆者設定了一 const static T CPX_EPS = 1E-9 ; 也就是

return std::fabs(m_imag - imag) <= CPX_EPS && std::fabs(m_real-real)<=CPX_EPS;

同時為了維持統一性，operator!= 便以 !operator==　方式調用。

設定 CPX_EPS 是好是壞全看個人，目前看到的 sample code 確實沒採用此機制，

於是筆者用多開了一個 bool IsEqu(const Complex<T> & cpx, const T & eps = 0);

之 member function，做為比較之指定誤差侯補用。

一樣地，也有做域做

bool Complex<T> operator==(const T & v_real, const Complex<T> & cpx);
bool Complex<T> operator!=(const T & v_real, const Complex<T> & cpx); 

至於大於、小於，一度想以模數 (norm) 做為比較，但後來想想語意上不夠直覺，便予以作罷。

3. 基本函式

簡單說公式如下，注意事項後註。

norm () : m_imag * m_imag + m_real * m_real;

abs() : std::sqrt(norm) ;　[ no good ]

args() : std :: atan2( m_imag , m_real);

imag() : return m_imag ;

real() : return m_real;

polar() : 傳入 rad, theta　; 該 complex<T> 依據此二參數做變更

inv() :  做倒數運算。

上面在 cmath 裡都有，做法上大同小異，只差沒有 inv。

另在 cmath 裡面，imag() 與 real() 同時兼具 getter 與 setter 功能，

為避免使用上之誤會困擾，故習慣上是弄成 get_real() / set_real，

對 image 也如此。

較有問題、要注意的大概屬 abs 函式，展開來後長這樣

sqrt ( m_real * m_real + m_imag * m_imag) ;

實際上若 m_real 與 m_imag 都很小，諸如 1E-9 時，

算出來的 sqrt 會等於零，這在其他 function 之應用容易出問題，

於是加一點小技巧。

假設 fabs(m_real) > fabs(m_imag)，則將 m_real 提出根號外面，變成

m_real * sqrt( 1.0 + m_imag * m_imag / (m_real * m_real) );

反之則提出 m_imag，如此盡量減低浮點數誤差所帶來之影響。

這點是開發完後想到的修正，原始碼裡沒做這個。

4. 三角、雙曲

三角函式：包含了 sin、cos、tan。注意到這裡可以做得可難可易，複雜的方法從切必雪夫(Chebyshev)公式之常數系數做計算分析，這裡是直接從 exponment 化 sin, cos 公式去做化簡。

雙曲函式：包含 sinh、cosh、tanh。要算 sinh、cosh、tanh 也有數種作法，也包含級數和公式，唯筆者直接拿他們與 sin, cos, tan 之關係式做推導切換。

反三角函式、反雙曲函式：反三角函式與反雙曲函式也可以用公式慢慢推過來，但求出來的解可能不只一個，故筆者沒再針對這二系列函式做處理。

5.  幕次、指數

nroot (const size_t n) : 假設已知 z ，w^n = z，求 w。這裡用的是棣美佛定理，唯答案算出來會有 n 個，所以需要傳一個 vector 或 array 進去接結果出來。

sqrt() : 複數開根號其解答有二個，其實只要將 nroot，將 n 代入 2 後化簡便可得到。注意到 c++ cmath 裡，對於 sqrt 二個根裡只挑一個出來，可查 c++ reference 觀看其規則。

這裡使用之方式較低效，純粹是調用 nroot(2)，再依據 c++ reference 給定之規則判斷要傳回何值，complex sqrt 在 wiki 上已有說明其結果，有興趣做較高效者可試著化簡。

pow( ) : pow 函式共做三個， pow(const T & real) , pow(const Complex<T> & cpx) , 還有一個是 global function ( not member function) ， pow(const T & v_real, const Complex<T> & cpx);　若是　(複數) ^ (實數) ，這個用棣美佛定理就行；但若為 ( 複數 ) ^ ( 複數)，要花點時間推導公式。

exp() : 依定義做，exp(x+iy) 可化成 exp(x) * cos(y) + i exp(x) * sin(y)，代入公式即可。

log() 、log10()、log2()：一樣從公式推導出來，log () 算出為 ln(z) = ln( |z| ) + i [ arg(z) ]  ，其他的 log10、log2 只是再多乘常數而已。

－－－　Improve　－－－

有幾點是後來想到要做的，但這些應在一開始規劃時就做好。

1. 例外處理部份

這份 class 幾乎沒在做例外處理部份，只有用 if-else 在做。其實 complex 在例外處理方面大多只是抓除零錯誤，筆者是以 assert 方式做，事後認為用 throw 一份 class error object 應也不錯。

2. 與 C++ complex 不同之處

拿筆者手邊之 vs 為例，它的 data member 是直接弄成一個二個元素之 array （ 如 double _Val[2] )，可能在其它之設計函式庫上調用會較方便。

較大不同處為，筆者將所有 cmath 裡支援 complex 之函式都做成 member function，再額外全域做成函式 ( 也沒用到 friend )，所以下面這兩種呼叫都是可行的。

Complex<double> c1(1.1, 2.2);
Complex<double> c2;
const double theata  = 1.732;

c2 = c1.sin(); /* call member function */ 
c2 = sin(c1) ; /* call non-member function */

但一般 c++ 裡之 complex 顯得較簡單，除了 + - * / ， += -= *= /= 、imag()、real() 外，其他都屬 non-member function。

單以 complex 使用上之習慣，或許就如標準函式庫所設計即可，即 member function 可不用那麼多。

另外在浮點數誤差處理那裡與標準函式庫做的處理也不同，這在上述有說明過。唯應注意的是，由於 CPX_EPS 筆者預設成 1E-9，在 Complex<float> 時可能會被截成 0 ，到時做比較時或許必須調用 Complex<float>::IsEqu() 。

3. 新增 fabs

abs 和 fabs 在 c++ 裡面是一樣的意思，只是部份習慣寫 C 之 coder，較習慣調用 fabs 。complex 在 fabs 與 abs 之行為也一樣，只是多開一個 function 出來而已。

* 4. 表頭 / 實作分離

這問題記得在 C++ Primer 裡有提到一點，但最後沒再深入研究。

具 template 之 class，有些編譯器可分開 .h / .cpp 獨立撰寫，

即 .h 是放宣告， .cpp 是實作 < 前提是要加上某個關鍵字，待查證 >

但 google 結果，目前似乎沒有任何 compiler 可支援到這裡，

換句話說，template 之 class / function，

目前是全塞在同一個 file 裡面，沒辦法 declare、implement 分在不同檔案裡，

這點筆者倒蠻不習慣的。

* 5. 特偏化問題

這部份其實沒有很有效的方法達到目標。

 trace vc 裡之 complex ，裡面針對了 float、double、long double 三種資料型態做特偏化。

開發到後半段時已在思考，像是 template<typename T> T Complex<T>::arg() const ;

假設為 Complex<int>，在求 arg() 時傳回也為 int，但認為實在不怎麼合理，

即使 m_imag、m_real 本身為整數，但化為極式 (polar) 時，

其長度(radu.) 與角度 (args) 實在不該再傳回整數，

故一度認為 complex 是較適合「只」實作 float、double、long double 三種 POD 資料型態，

即

template<typename T> class Complex<T> {}
template<> class Complex<float} { ....} 
template<> class Complex<double} { ....} 
template<> class Complex<long double} { ....}  

問題來了，要特偏化這三種資料型態，筆者不知道有沒有什麼簡便的方式，

目前筆者想到的是一份 code 寫三次，做細部修改；

另一種方式顯得較噁心，是用 C 語言以 #define 方式實現 template 實作，

這也是筆者較不願意使用之方式。

有沒有技巧能將 source 只寫一次，但一次只做 n 種資料型態 (或 class) 之特偏化，

這問題目前筆者還沒得到解答。