K algorithm ( "Super-random" number generator)

這是由 Kunth 於 The Art Of Programming 裡提出說明,當時 Kunth 試著以此演算法建立較好之 PRNG,也強調讀者不必特別研究它,故這部份沒太大興趣者可跳過,流程大致如下,其中 ** 代表次方,如 3**5 代表 3 的 5 次方。(以下特別注意 K1, K2)

INIT: 給一 10 位數 X ,進行以下步驟
K1. 選擇迭代次數: Y:= X/(10 ** 9),執行 K2~K13 ,Y+1次。
K2. 選擇隨機步驟: Z:= Y/(10 ** 8) mod 10,步驟轉向  K(3+Z)
K3. 確保 X >= 5* 10**9: 若 X < 5000000000 , X := X + 5000000000
K4. 平方取中法: X := (X*X / 10 ** 5) mod 10
K5. 進行乘法: X:= 1001001001X
K6. 假(偽)補數: 若 X < 10 ** 8 , X:= X+9814055677;否則 X:=10 ** 10 - X
K7. 互換二半: X 高5位與 X 低5位 (十進制) 交換,即 X:= (X mod 10 ** 5) + (X / 10 **5)
K8. 進行乘法: 同 K5
K9. 減小數字:將 X 之十進制表示之每個非 0 數字減 1
K10. 9999修改:若 X<100000,X:=X*X + 9999;否則 X:=X-9999
K11. 正規化:此時 X 不能為零,若 X < 10 ** 9 ,X:=10X,重覆此步驟
K12. 修正之平方取中法: X:= ( X*(X-1) / 10 ** 5  ) mod ( 10 ** 10),即中間十位數取代 X
K13. 重複 ? :若 Y>0,Y:=Y-1,回到步驟 K2;若 Y=0,其 X 即為隨機值。

最終,此算法收斂至 605038420,而以另一數開始時 (原文未提及為何數),於 7401 個數後,以長度為 3178 之週期做為循環。結論是:隨機亂數並非透過隨機選擇之方法便可生成,應 應用某些理論方可完善實現。

由於 Kunth 所提出之 K演算法,必須有 20 位數(十進制) 之整數型態方可快速進行,而 unsigned long long 最大值也才 19 位數,雖可自行調整試試,但效果未必像 Kunth 所做如此。此處不再加以 implement,唯留下二問題供參考。

K9  步驟,該如何實現?
K11步驟,語意敘述上是一個 while loop,是否有更快之解法?

其實 Kunth 在這篇演算法裡面,有提到不少 div, mod 技巧,如互換高底 5 個數 (十進制)、平方取中法之小技巧,唯此處輕輕帶過,推測 Kunth 可能有其他更快之解法,或認為 "這是常識",只是我沒想到。

以 unsigned long long,「不考慮 overflow 情況下」 (雖然已知這是不可能的),基礎板的碼參考如下

unsigned long long K9(unsigned long long X)
{
    unsigned long long multi=1;
    while(multi<=X){                    // K9
       if( (X % multi*10 ) / multi !=0) X-=multi;
       multi*=10;
    }
    return X;
}
unsigned long long K11(unsigned long long X)
{
    while(X<1000000000) X*=10;
    return X;
}

 

如何更快?此處便留下另一伏筆。

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