[回目錄]

 

圖形與說明


 

假設一函式為 f(x)  = 3x^3 + 2x^2 + 5x - 1,

要求其根,則令 f(x) = 0,即 3x^3 + 2x^2 + 5x - 1=0 進行求解。

而定點迴路法較特別,它是先將 f(x) = 0 ,化作 g(x) = x 之形式,

以此例而言,共有三種化法

 

(1) 移 x 項

3x^3 + 2x^2 + 5x - 1 = 0 ,

5x = -3x^3 - 2x^2 +1

x = (-3x^3 - 2x^2 +1) / 5

g(x) = (-3x^3 - 2x^2 +1) / 5

 

(2) 移 x^2 項

3x^3 + 2x^2 + 5x - 1 = 0

2x^2 = -3x^3 - 5x +1

x = sqrt [ (-3x^3 - 5x +1)  /2  ]

g(x) = sqrt [ 0.5 * (-3x^3 - 5x +1)  ]

 

(3) 移 x^3 項

3x^3 + 2x^2 + 5x - 1 = 0

3x^3 = -2x^2 - 5x +1

x = [( -2x^2 - 5x +1)/3] ^ (1/3)  

g(x) = [( -2x^2 - 5x +1)/3] ^ (1/3)  

 

將 f(x)=0 化作 x = g(x) 之後,只要求得 y=x 與 y=g(x) 之交點 x0,

便使得 f(x0) = 0 成立,即為 f(x) 其根。

 

從 f(x) = 0 化成 g(x) = x 後,必須先給一初始點 x0,假設圖型如下

 

Fixed-poin01.png 

 

接著計算  x1 = g(x0)

 

Fixed-poin02.png

 

由於 (y=x) ,x1 代入 (y=x),得到 x2,即 x2 = x1

Fixed-poin03.png 

 

再將 x2 代入 g(x), 得 x3,即 x3 = g(x2)

 

Fixed-poin04.png

 

x3 代入 (y=x) 得 x4,即 x4 = x3,依此類推下去,

直到 abs(xn - xn-1) < eps 時終止。

 

Fixed-poin05.png 

 

再看一下剛剛迭代路徑

Fixed-poin06.png

 

於是可得到一迭代式:

x1 = g(x0)

x0 = x1

 

這次程式碼例子,將以

f(x) = x^3 - 5.48*x^2 -  1.4883*x + 20.394828

為例,而 g(x) 則針對 x^2 移項做處理,即

g(x) = sqrt( (x*x*x - 1.4883*x+20.394828) /5.48);

 

虛擬碼

 

Algorithm FixPoint

    E0 : 初始化最小誤差 EPS,初始點 x0

    E1 :  計算 x = g(x0) 
 

    E2 :     if abs(x0-x) < eps 成立,演算法終止,傳回 x0

    E3 :  x0 = x 

    E4 :  goto E1

End Algorithm

 

 

C 語言程式碼

 

/*******************************************************************/
/*                                                                 */
/*     filename : FixPoint1.c                                      */
/*     author   : edison.shih/edisonx                              */
/*     compiler : Visual C++ 2008                                  */
/*     date     : 2011.03.07                                       */
/*                                                                 */
/*         A.L.L.      R.I.G.H.T.S.     R.E.S.E.R.V.E.             */
/*                                                                 */
/*******************************************************************/

/*----------------------------------------------------------------*\
|
| E0 : 
初始化最小誤差EPS,初始點x0
| E1 :  計算x = g(x0)
| E2 :  if abs(x0-x) < eps 成立,演算法終止,傳回x0
| E3 :  x0 = x
| E4 :  goto E1

\*----------------------------------------------------------------*/

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// [ -2.00 , -1.00 ] , [ 2.00 , 3.00 ] , [ +4.00 , +5.00 ]
double func(double x)
{
     double x2=x*x, x3=x2*x;
     return (x3 - 5.48*x2 -  1.4883*x + 20.394828);
}

double gfunc(double x)
{
     double x2=x*x, x3=x2*x;
     return sqrt( (x*x*x - 1.4883*x+20.394828) /5.48);
}

double FixPoint1(double x0,              /* 
初點   */
                 double (*gx)(double),   /* 適應函式*/
                 double eps,             /* 容許誤差*/
                 int max_itera)          /* 最大迭代*/
{
     double x = gx(x0);
     while(fabs(x-x0)>eps && max_itera){
           x0 = x;
           x = gx(x0);
           --max_itera;
     }
     return x;
}

int main()
{
     const double eps=1E-9;
     const int max_itera=1000;
     double x, x0;

     x0 = -2.0 ;
     x = FixPoint1(x0, gfunc, eps, max_itera);
     printf("\n >func(%+.15e) = %+.15e", x, func(x));

     x0 = +2.0 ;
     x = FixPoint1(x0, gfunc, eps, max_itera);
     printf("\n >func(%+.15e) = %+.15e", x, func(x));

     x0 = +4.0 ;
     x = FixPoint1(x0, gfunc, eps, max_itera);
     printf("\n >func(%+.15e) = %+.15e", x, func(x));

     x0 = 0.0 ; // test
     x = FixPoint1(x0, gfunc, eps, max_itera);
     printf("\n >func(%+.15e) = %+.15e", x, func(x));
     return 0;
}

 

執行結果


 

 >func(+2.313837834730220e+000) = +9.258705802039913e-009
 >func(+2.313837834658870e+000) = +1.002830884999639e-008
 >func(+2.313837836693511e+000) = -1.191818910228903e-008
 >func(+2.313837834508028e+000) = +1.165536644975873e-008

 

定點法收斂性


 

由程式結果發現,當 g(x) 以 x^2 項化開時,x0 分別給 -2,2,4,0,

最後都是收斂到同一解,原因乃在於,化開之 y= g(x) 與 y=x 兩條曲線,

在這區間中,圖型上只有一個交點,故所指向之解為同一個。

 

針對此題,若對 x^3 項、x 項化成 g(x) 時,也未必找得到解。

定點法要找到解有幾個事項要注意。

 

(1) 收斂充份條件

由 f(x) = 0 化作 g(x) = x  ,於 [a, b] 尋找,必須確保 g(x) 可微分外,

「最好」再確保 | g'(x) | < 1,若 | g'(x) | < 1 成立,則必定收斂;

但若 | g'(x) | > 1 時,則「有可能收斂,有可能不收斂」,故稱充份條件。

以下圖形為例,最後只會發散,找不到 y=x 與 y=g(x) 之交點。

Fixed-poin07.png

 

(2) 確保 y = g(x) 與 y=x 圖形有交點

並不是所有圖形都會有交點,簡單、偏激一點的函式,

當 y = g(x) = x+1 時, 便不會與 y=x 之圖形有交點。

 

Fixed-poin08.png

 

(3)  g(x) 影響是否能找到解

 

上述,從 f(x) = 0 化作 g(x) = x 有許多種化法,

但不代表每種化法都可以找到與 y=x 有交點,

但也可能化出來之交點不只一個,故在化簡時必須額外注意。

 

Fixed-poin09.png    

 

也由於定點法在化 g(x) 時麻煩,且未必保證收斂,

故實作上較少單以定點回路法進行,

但慶幸的是,另外有種方法針對定點化收斂之問題做改善。

 

[回目錄]

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留言列表 (4)

發表留言
  • 訪客
  • 留言一直消失,總之移x^2項和移x^3項推導有問題。
    請教"另外有種方法針對定點化收斂之問題"是指什麼?
  • 就是艾肯疊代法,
    http://edisonx.pixnet.net/blog/post/83345975

    edisonx 於 2014/10/30 08:22 回覆

  • 訪客
  • 版主的筆誤還沒訂正呢,請仔細檢查。
  • 謝謝指正,已修正。

    edisonx 於 2014/11/02 15:32 回覆

  • 訪客
  • 你的5x怎麼變成5了。不是故意找碴,只是希望文章更完美。
  • 已修正,謝謝。

    edisonx 於 2014/11/05 08:35 回覆

  • 訪客
  • 移x^3項時移項錯誤,-2x^2才對。
  • Done.

    edisonx 於 2014/11/06 17:54 回覆

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