這裡的資料全都是參考自網路,對於定義並非予以正式數學之定義,但說明應都能明白如何判斷該數之特性。

     -by EdisonX

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1. 質數(素數, prime)

定義:一個正整數除了1和本身自己之外無其它因數則稱為質數,反之為合成數。

性質:
(1) n 若於n^0.5內仍無因數, 則該數即為質數。
(2) 篩法原理(ex:100以下質數), 從1開始計數,
    2為質數, 100內為2之倍數全都劃掉; 3 為質數, 100 內為 3 之倍數全都劃掉;
    4-> 剛被 2 劃掉了; 5 為質數, 100 內為 5 之倍數全都劃掉。
    劃到 100^0.5 = 10, 剩下沒被劃掉的就是質數。
(3) 已被證明有無窮多個。

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2. 最大公因數(Greatest Common Divisor, GCD; Highest Common Factor, HCF)

定義:指某幾個整數共有因數中最大的一個。

說明:
(1) 兩數各分解質因數,然後取出交集項乘起來可求得。
(2) 列舉法可求得。
(3) 輾轉相除法可求得。
(4) 短除法可求得。

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3. 最小公倍數(Least Common Multiple, LCM)

定義:指某幾個整數共有倍數中最小的一個。

說明:
(1) 兩數各分解質因數,然後取出連集項乘起來可求得。
(2) 列舉法可求得。
(3) 輾轉相除法可求得。
(4) 短除法可求得。


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4. 輾轉相除法

舉例:
(1) GCD(1071,462)

step 0 : 1071 = 462*q0 + r0 ,
              q0=2, r0 = 147

step 1 : 462  = 147*q1 + r1 ,
              q1=3, r1 = 21

step 2 : 147   = 21*q2 + r2  ,
              q2=7, r2 = 0 #end

GCD(1071,462) = 21


說明:
(1) 輾轉相除法最早出現在歐幾里得的幾何原本中(大約公元前300年),所以它是現在仍在使用的演算法中最早出現的。
(2) 現代密碼學方面,它是RSA演算法(一種在電子商務中廣泛使用的公鑰加密演算法)的重要部分。
(3) 解丟番圖方程,尋找滿足中國剩餘定理的數。
(4) 連分數問題。

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5. 雙生質數(Twin Prime Problem)

定義:連續二個質數彼此差2稱之為雙生質數。
舉例:{5,7}, {29,31}
說明:配對是否有無限多目前尚未證實。

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6. 費馬大定理(Fermat‘s Last Theorem)

定理:x^n + y^n = z^n 當 n > 2時沒有正整數解
說明:也稱費馬最後定理,16xx 年由費馬提出, 1995 年 維爾斯(Andrew Wiles)解決。

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7. 梅森數/梅森質數(Mersenne number)

定義:梅森數Mn為 2^n-1, 若該梅森數為質數, 則稱梅森質數。
舉例: M2 = 2^2-1=3, 梅森質數; M4 = 2^4-1=15, 梅森數。

性質:
(1) Mn = C(n,0)+C(n,1)+....+C(n,n)-1
(2) 現在已知最大的質數是梅森質數 M43,112,609

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8. 魯斯-阿倫數對(Ruth-Aaron pairs)

舉例:714=2*3*7*17, 715=5*11*13
(1) 714*715 = 2*3*5*7*11*13, 前七個數乘積
(2) (714質數因)2+3+5+7 = 5+11+13(715質因數)
符合以上二個條件, 為魯斯-阿倫數對。

說明:
(1) 20000以內只有 26 對,min={5,6},max={18490, 18491}。
(2) 已被證明有無窮多個。
(3) 起源於職業大聯盟之 漢克阿倫 (Hank Aaron)
(4) 魯斯-阿倫數對可分兩種,只計算相異質因子之和重覆出現的質因子也計算在內。

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9. 史密斯數(Smith number)

定義:各個數字之和正好等於它的質因數的各個數字之和。
舉例:4397775 = 3*5*5*65837,4+3+9+7+7+7+5 = 3+5+5+6+8+3+7 = 42, 其它還有9985,6036

說明:
(1) min=4
(2) 起源於一個電話號碼
(3) 其它 smith number:4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086 ...

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10. 卡布列克數(Kaprekar number)

性質:
(1) 給一個四位數,其每個數字皆相異(設為abcd, a<b<c<d)。
(2) 此四數構成最大數令 A, 最小數令 B
(3) A-B = 6174, 成立則為此數卡布列克數, 不成立回到步驟2,直至出現卡布列克數。

舉例:
(1) give 1746, A=7641, B=1467, A-B=6174。
(2) give 5324,
    A=5432, B=2345, 且 A-B=3087;
    A=8730, B=0378, 且 A-B=8352;
    A=8532, B=2358, 且 A-B=6174

說明:
(1) 卡布列克數(Die R. Kaprekar,印度數學家,1905-1986)
(2) 除了 1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777 8888 9999,其餘皆為卡布列克數(已被證)

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11. 四位卡布列克怪數(Kaprekar number)

定義:一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數,加上這個數的後 n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。
舉例:(30+25)^2 = 3025

性質:
(1) 100a + b = (a+b)^2, 99a = n(n-1) [for n=a+b]

說明:
(1) 1, 81, 2025, 3025, 9801, 494209, 998001, 52881984,60481729.

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12. 貝林卓米克 (回文,palindromic) 數

定義:一個正整數由左至右的數字排列恰好是由右至左的數字排列,稱為貝林卓米克數。
舉例:9,9559,4078704。


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13. Automorphic 數

定義:K^2 右邊後面之位數恰等於 k
舉例:25^2 = 625, 76^2=5776, 故 25,76 為 Automorphic 數

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14. Trimorphic 數

定義:K^3 右邊後面之位數恰等於 k
舉例:25^3 = 15625, 99^3=970299, 故 25,99 為 Trimorphic 數

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15. 快樂數(Happy number)

定義:在給定數值 m 次方下,該數字所有數位(digits)的 m 次方和,得到的新數再次求所有數位的 m 次方和,如此重複進行,最後結果若為1則為快樂數。

舉例(1):(m=2), 32 -> 3^2+2^2=13 -> 1^2+3^2=10 -> 1^2+0^2=1, 快樂數。
舉例(2):(m=2), 55 -> 5^2+5^2=50 -> 5^2+0^2=25 -> 2^2+5^2=14 -> 1^2+4^2=10 -> 1^2+0^2=1, 快樂數。
         (m=7), 55 ->.....(請慢慢推)...........-> 1, 快樂數。
         (m=2),  4 -> 4^2=16 -> 1^2+6^2=37 -> 3^2+7^2=58 -> 5^2+8^2=41
                   -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37..... (開始重覆了), 於是 4 為不快樂數(unhappy number)。

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16. 完全數字不變數 (Perfect Digital Invariant 或 PDI)

定義:在給定數值 m 次方下,該數字所有數位(digits)的 m 次方和即為自己本身即稱自戀數。

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17. 阿姆斯壯數(Armstrong number, 自戀數, Narcissistic Number)

定義:該數若為 n 位數, 則該數之各位數之 n 次方和等於自己
舉例:307 有 3 位數, 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3, 故為阿姆斯壯數, 
      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474 都是。

說明:PDI 之特例。

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18. 完美數(完全數, perfect number)

定義:若某數之所有因數和(扣除自己)為本身之值,稱該數為完美數(perfect number)。
舉例:6 之因數為 1,2,3,6 ; 又 1+2+3 = 6, 故為完美數。

說明:
偶完全數
(1) 尾數為 6 或 8; 若以8結尾, 則必為 28 結尾。
(2) 除 6 以外之完美數, 所有數字相加至個數必為1 (mod 9=1)
(3) 必可表達連續 2^n 和, ex: 28=2^2 + 2^3 + 2^4
(4) 必可寫成自然整數和, ex: 28=1+2+3+4+5+6+7
(5) 所有因數倒數和為2, ex: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2
(6) 可表達成 2^(n-1) * (2^n - 1), 若 (2^n - 1) 為質數 , 則代入後該數必為完美數。

奇完全數
用計算機已經證實了,在10^300以下,沒有奇的完全數。


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reference:
http://en.wikipedia.org
http://www.ied.edu.hk/has/maths/content.htm
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_4_04/
http://www.geocities.ws/goodprimes/OHappy.html

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