[回目錄]

 

非線性方程式與線性方程式

 

實數係函數種類,不是很正式的分法,區分下面幾種

(1) 常數函數 (constant function): f(x) = C

(2) 多項式函數 (polynomial function): f(x) = a0 + a1x^1 + a2x^2+...+anx^n

(3) 線性函數 (linear function):f(x) = a0 + a1x,也可表示為 y = ax + b,只要不屬於此型態表示法者均為非線性函數。故多項式函數屬非線性函數。

而上可知,多項式函數屬於非線性函數之一種。

 

而非線性函數,也不只多項式函數一種,大致以下粗分

(1) 多項式函數(polynomial function): y = f(x) = a0 + a1x^1 + a2x^2+...+anx^n ,上面提過了。

(2) 有理函數 (rational function):y=f(x) / g(x),同為多項式函數相除結果。

(3) 超越函數(trancedental function):其他有看到三角函數、對數、指數等所組成,就叫超越函數。

 

該如何直接求得非線性方程式之解

 

單以 y = x^2 + 2x -3  這類型多項式函數而言,要求得其根並不難,只要進行因式分解即可。

甚至在高次之多項式函數時,一次因式判別定理也有機會得到一組有理根 ,

但因式判別定理判別的是有理根,不是實根,所以根號 2 這些無理數試不出來,

甚至複雜一點的超越函數:f(x) = y = x * sin(2x) - 3*x^2*cos( sin(2x) ) 之類的函式,

這用筆算幾乎是求不出根,大多情況下,直接使用一些近似法方式去取得根。

 

故針對問題:「如何直接求得非線性方程式之解」,目前沒這方法。

 

在面對複雜之超越函數或高次多項式函數時,大多都是先進行初步分析,

先將解之可能範圍縮小,再對此範圍進行求解。

至於要如何從 [-∞,∞」將範圍縮小到 [a, b] ,這是接下來要討論的問題。

 

勘根定理

 

在給定 f(x) 函數如上圖之情況下,該如何判別 [a,b] 間有沒有根的存在?

先以簡單的單調函數為例,看以下的函數圖形

IVT01.png

 

若 f(x) 為單調函數時,當 f(a) * f(b) < 0 的時候,便可知在 [a, b] 間有一組解,

其情況包含了以下圖型之兩種。

IVT02.png

 

注意到,事實上應該是 f(a) * f(b) <= 0 才對,當 0 發生時,代表 a 或 b 其中一點為一組解。

而當 f(a) * f(b) > 0 時,對單調函數而言,該區間沒有解,可能圖形如下。

 

 IVT03.png

 

剛剛所強調的是「單調函數」,但若非單調函數的話,上述情況必須做一點修改。

若 f(a) * f(b) <= 0 ,則 [a, b] 必包含 "單數個實根"

可能圖形如下所示

 IVT04.png

 

上圖之 f(a) * f(b) < 0,但實際上卻有 3 個實根,

然而使得 f(a) * f(b) < 0 之情況,只要在 [a,b] 區間有,

有單數個實根即可,故此判別法並不能完全保證 [a,b] 之間只有唯一解,

但若 [a,b] 本身距離短時,幾乎不會有這種情形發生。

 

那為何不會有 2 個、4個實根之情況?看圖便知

IVT05.png

上圖裡, f(x) 在 [a,b] 區間中有二個實根,不論圖形是上凹或下凹,

 f(a) , f(b) 正負號必相同,故使得 f(a) * f(b) >0 必成立。

 

整理一下勘根定理講了什麼

 

(1) 若 f(a) * f(b) <=0 ,則代表 f(x) 函數在 [a,b] 區間中,至少有一實數根 (有可能更多)

(2) 若 f(a) * f(b) > 0,則代表 f(x) 函數在 [a, b] 區間中,有可能有實根,也有可能沒實根。

 

上面第二句聽起來很像廢話,但主要是在敘述,即使用勘根定理,也可能會有「漏根」的情況發生。

 

一般分析法則


 

一般在分析時,常先找一區域,判斷該區域是否有可能有解,再進行細部搜尋;

假設 f(2) * f(10) < 0 ,便代表了 f(x) 於 [2, 10] 裡至少包含了一根;

然而若 f(2) * f(10) > 0 ,可能表代了 f(x) 於 [2,10] 裡沒根,也可能是偶數個根,

故區間若切太大,容易造成「缺根」之情形;

但若在沒事前分析情況下,區間切太小,卻又在「判斷有沒有根」這件事上花費時間,

故強調,在進行 非線性方程式 求解前,應先分析該問題,以先縮小根可能存在範圍為佳。

 

C 程言程式碼

 

/*******************************************************************/
/*                                                                 */
/*     filename : HasRoot.c                                        */
/*     author   : edison.shih/edisonx                              */
/*     compiler : Visual C++ 2008                                  */
/*     date     : 2011.03.07                                       */
/*                                                                 */
/*         A.L.L.      R.I.G.H.T.S.     R.E.S.E.R.V.E.             */
/*                                                                 */
/*******************************************************************/

#include <stdio.h>
double func(double x)
{
     double x2=x*x, x3=x2*x;
     return (x3 - 5.48*x2 -  1.4883*x + 20.394828);
}

int HasRoot(double low, double up, double (*fx)(double))
{
     return fx(low) * fx(up) <= 0.0;
}

int main()
{
     const double low = -10.0;
     const double up  = +10.0;
     double x;
     for(x=low; x<=up; x+=1.0)
           if(HasRoot(x, x+1.0, func))
                printf("\n> There is one least root at [ %+5.2lf , %+5.2lf ] ", x, x+1.0);
     return 0;
}

 

執行結果

> There is one least root at [ -2.00 , -1.00 ]
> There is one least root at [ +2.00 , +3.00 ]
> There is one least root at [ +4.00 , +5.00 ]

 

[回目錄]

edisonx 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(1) 人氣()


留言列表 (1)

發表留言
  • 訪客
  • 勘根定理的重點整理有誤
    (1)若f(a)*f(b)>=0...,改成f(a)*f(b)<=0
    (2) 若f(a)*f(b)< 0...,改成f(a)*f(b)>0
  • 確實筆誤,謝謝指正。

    edisonx 於 2013/05/13 09:13 回覆

您尚未登入,將以訪客身份留言。亦可以上方服務帳號登入留言

請輸入暱稱 ( 最多顯示 6 個中文字元 )

請輸入標題 ( 最多顯示 9 個中文字元 )

請輸入內容 ( 最多 140 個中文字元 )

請輸入左方認證碼:

看不懂,換張圖

請輸入驗證碼